Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Μονοτονία και ακρότατα

Η παράγωγος σου λέει πού ανεβαίνει και πού κορυφώνεται.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να βρίσκεις τα διαστήματα μονοτονίας από το πρόσημο της πρώτης παραγώγου.
  2. Να εντοπίζεις τα κρίσιμα σημεία και να κρίνεις ποια από αυτά είναι ακρότατα.
  3. Να διατυπώνεις το θεώρημα Fermat και να ξέρεις τι δεν λέει.
  4. Να ξεχωρίζεις τοπικό από ολικό ακρότατο, και θέση από τιμή.

Το πρόσημο της παραγώγου είναι η μονοτονία

Στη Β΄ Λυκείου η μονοτονία αποδεικνυόταν με ζεύγη x1<x2x_1 < x_2 και σύγκριση διαφορών. Δουλεύει, αλλά μόνο για απλούς τύπους. Η παράγωγος τη δίνει με έναν πίνακα προσήμου.

Θεώρημα. Έστω ff συνεχής σε διάστημα Δ\Delta και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του.

  • Αν f′(x)>0f'(x) > 0 στο εσωτερικό, η ff είναι γνησίως αύξουσα στο Δ\Delta.
  • Αν f′(x)<0f'(x) < 0 στο εσωτερικό, η ff είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ\Delta.

Η απόδειξη είναι μία εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής: για x1<x2x_1 < x_2 υπάρχει ξ\xi ανάμεσά τους με f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1), και το πρόσημο του γινομένου το καθορίζει το f′(ξ)f'(\xi).

Ο πίνακας προσήμου, δίπλα στο σχήμα του

Αριστερά η f(x) = x³ − 3x, δεξιά το πρόσημο της f΄. Κάθε στήλη με + είναι μια ανηφόρα, κάθε στήλη με − μια κατηφόρα, και η κάθετη γραμμή όπου αλλάζει πρόσημο είναι το ακρότατο.

x−3−113
f΄(x)+−+
f(x)↗↘↗
  • (−3, −1) γνησίως αύξουσα
  • (−1, 1) γνησίως φθίνουσα
  • (1, 3) γνησίως αύξουσα
  • x = −1 τοπικό ακρότατο
  • x = 1 τοπικό ακρότατο

Κρίσιμα σημεία και το θεώρημα Fermat

Κρίσιμα σημεία της ff λέγονται τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού όπου η f′f' μηδενίζεται ή δεν υπάρχει. Είναι οι μόνοι υποψήφιοι για τοπικό ακρότατο — και αυτό ακριβώς λέει το θεώρημα Fermat:

Θεώρημα Fermat. Αν η ff παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x0x_0 του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη εκεί, τότε f′(x0)=0f'(x_0) = 0.

Τοπικό, ολικό, θέση, τιμή

Τέσσερις λέξεις που η εκφώνηση τις ξεχωρίζει και η απάντηση πρέπει να τις ξεχωρίζει κι αυτή.

Τι σημαίνει
Τοπικό μέγιστοf(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0) για τα xx κοντά στο x0x_0
Ολικό μέγιστοf(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0) για κάθε xx του πεδίου ορισμού
Θέση ακροτάτουτο x0x_0
Τιμή ακροτάτουτο f(x0)f(x_0)

Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο αλλού στη γραφική παράσταση. Δεν είναι παράδοξο — η λέξη «τοπικό» το επιτρέπει ρητά.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Βρες τη μονοτονία και τα ακρότατα της f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Δείξε ότι η f(x)=x3f(x) = x^3 δεν έχει ακρότατο, παρότι f′(0)=0f'(0) = 0

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Βρες τα ακρότατα της f(x)=xexf(x) = x e^{x}

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Βρες τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x στο κλειστό [0,2][0, 2]

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Σε ποιο διάστημα είναι γνησίως φθίνουσα η f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Αν f′(x)>0f'(x) > 0 σε όλο το εσωτερικό ενός διαστήματος Δ\Delta, τότε η ff εκεί:

Τα κατάφερες;

  • Να βρίσκεις τα διαστήματα μονοτονίας από το πρόσημο της πρώτης παραγώγου.
  • Να εντοπίζεις τα κρίσιμα σημεία και να κρίνεις ποια από αυτά είναι ακρότατα.
  • Να διατυπώνεις το θεώρημα Fermat και να ξέρεις τι δεν λέει.
  • Να ξεχωρίζεις τοπικό από ολικό ακρότατο, και θέση από τιμή.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.