Κυρτότητα και σημεία καμπής

Πώς στρίβει η καμπύλη

Η πρώτη παράγωγος λέει αν η καμπύλη ανεβαίνει ή κατεβαίνει. Δεν λέει πώς: δύο συναρτήσεις μπορούν να είναι και οι δύο αύξουσες, η μία επιταχύνοντας και η άλλη επιβραδύνοντας. Αυτή τη διαφορά τη βλέπει η δεύτερη παράγωγος.

Η $f$ λέγεται κυρτή σε ένα διάστημα όταν η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα εκεί — η κλίση όλο και μεγαλώνει, και η καμπύλη ανοίγει προς τα πάνω. Λέγεται κοίλη όταν η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα.

Επειδή η μονοτονία της $f'$ κρίνεται από το πρόσημο της $f''$, το κριτήριο γίνεται πρακτικό:

• $f''(x) > 0$ σε διάστημα → η $f$ είναι κυρτή εκεί
• $f''(x) < 0$ σε διάστημα → η $f$ είναι κοίλη εκεί

Το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου

Η ίδια f(x) = x³ − 3x του προηγούμενου μαθήματος, τώρα με την f΄΄ = 6x. Ένα μόνο σημείο αλλαγής, στο μηδέν: αριστερά η καμπύλη ανοίγει προς τα κάτω, δεξιά προς τα πάνω.

x	−3	0	3
f΄΄(x)	−	+
f(x)	∩	∪

• (−3, 0) κοίλη
• (0, 3) κυρτή
• x = 0 σημείο καμπής

Σημείο καμπής

Το $x_0$ δίνει σημείο καμπής όταν ισχύουν και τα δύο:

1. η $f$ αλλάζει κυρτότητα στο $x_0$ — από κυρτή σε κοίλη ή αντίστροφα
2. η γραφική παράσταση έχει εφαπτομένη στο σημείο $(x_0, f(x_0))$

Το σημείο καμπής είναι το σημείο $(x_0, f(x_0))$, όχι η τετμημένη του. Όταν η άσκηση λέει «βρες το σημείο καμπής», η απάντηση είναι ζεύγος.

Το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου

Όταν ξέρεις ήδη ότι $f'(x_0) = 0$, η δεύτερη παράγωγος κρίνει το ακρότατο χωρίς πίνακα προσήμου:

• $f''(x_0) > 0$ → η καμπύλη είναι κυρτή εκεί, δηλαδή κοιλάδα → τοπικό ελάχιστο
• $f''(x_0) < 0$ → κοίλη, δηλαδή κορυφή → τοπικό μέγιστο
• $f''(x_0) = 0$ → το κριτήριο δεν αποφασίζει, και γυρνάς στο πρόσημο της $f'$

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση