Ασύμπτωτες και κανόνας De L'Hospital

Όταν το όριο δεν είναι αριθμός

Μέχρι τώρα το όριο ήταν πραγματικός αριθμός ή δεν υπήρχε. Υπάρχει και τρίτη περίπτωση: οι τιμές να ξεφεύγουν προς μία κατεύθυνση, χωρίς φράγμα. Γράφουμε

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$$

και εννοούμε ότι όσο μεγάλο κι αν διαλέξεις έναν αριθμό, οι τιμές τον ξεπερνούν κοντά στο $x_0$.

Το $+\infty$ δεν είναι αριθμός και δεν γίνονται πράξεις μαζί του. Είναι περιγραφή συμπεριφοράς — και η γραφή «το όριο είναι άπειρο» είναι στην ουσία τρόπος να πεις ότι όριο, με την αρχική έννοια, δεν υπάρχει.

Το όριο που φεύγει

Η f(x) = 1/(x − 1) γύρω από το 1. Ανέβασε το ζουμ και κοίτα τους δύο αριθμούς: στο ×100 είναι −100 και +100. Δεν πλησιάζουν τίποτα, και ο κατακόρυφος άξονας του παραθύρου μεγαλώνει για να τους χωρέσει.

Ζουμ×1

Από αριστερά, στο 0

−1

Από δεξιά, στο 2

1

Η τιμή στο x₀

δεν ορίζεται

Οι τρεις ασύμπτωτες

Μια ασύμπτωτη είναι ευθεία που η γραφική παράσταση πλησιάζει απεριόριστα χωρίς υποχρεωτικά να τη συναντήσει.

Κατακόρυφη $x = x_0$: όταν ένα τουλάχιστον από τα πλευρικά όρια στο $x_0$ είναι $+\infty$ ή $-\infty$. Οι υποψήφιοι είναι τα σημεία όπου μηδενίζεται παρονομαστής ή όπου τελειώνει το πεδίο ορισμού.

Οριζόντια $y = \ell$: όταν $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ ή το ίδιο στο $-\infty$. Οι δύο άκρες εξετάζονται χωριστά και μπορεί να δώσουν διαφορετική ευθεία.

Πλάγια $y = \lambda x + \beta$: όταν δεν υπάρχει οριζόντια, αλλά υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τα

$$\lambda = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad \beta = \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - \lambda x \right)$$

με $\lambda \neq 0$. Ο πρώτος υπολογισμός δίνει την κλίση, ο δεύτερος το ύψος — και ο δεύτερος γίνεται μόνο αφού ο πρώτος δώσει αριθμό.

Η καμπύλη και η πλάγια ασύμπτωτή της

Η f(x) = x + 1/x, δηλαδή (x² + 1)/x. Μακριά από την αρχή το 1/x γίνεται αμελητέο και αυτό που μένει είναι η ευθεία y = x. Κοντά στο μηδέν συμβαίνει το αντίθετο, και η κατακόρυφη x = 0 παίρνει τη σκυτάλη.

• f(x) = x + 1/x
• y = x

Ο κανόνας De L'Hospital

Όταν το $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ δίνει απροσδιόριστη μορφή $\dfrac{0}{0}$ ή $\dfrac{\infty}{\infty}$, και η $\dfrac{f'}{g'}$ έχει όριο, τότε

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Παραγωγίζεις χωριστά αριθμητή και παρονομαστή — δεν είναι κανόνας πηλίκου, και δεν του μοιάζει.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση