Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Ολοκληρώματα

Η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης — και γιατί δίνει εμβαδό.

32 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να βρίσκεις αρχικές συναρτήσεις και να γράφεις σωστά τη σταθερά ολοκλήρωσης.
  2. Να υπολογίζεις ορισμένα ολοκληρώματα με το θεμελιώδες θεώρημα.
  3. Να ολοκληρώνεις κατά παράγοντες και με αντικατάσταση.
  4. Να χρησιμοποιείς τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, ιδίως τη διάσπαση διαστήματος.

Η πράξη προς τα πίσω

Όλη η χρονιά ρωτούσε «δεδομένης της ff, ποια είναι η f′f';». Το ολοκλήρωμα ρωτάει το αντίστροφο: δεδομένης της ff, ποια συνάρτηση έχει αυτήν για παράγωγο;

Μια τέτοια συνάρτηση FF με F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) λέγεται αρχική ή παράγουσα της ff.

Δεν είναι μοναδική, και ο λόγος είναι το θεώρημα του μαθήματος για τη μέση τιμή: αν F′=G′F' = G' σε διάστημα, οι δύο διαφέρουν κατά σταθερά. Άρα οι αρχικές της ff είναι όλες οι F(x)+cF(x) + c, και γράφουμε

∫f(x) dx=F(x)+c\int f(x)\,dx = F(x) + c

Οι τύποι που χρειάζεσαι

f(x)f(x)∫f(x) dx\int f(x)\,dx
xαx^{\alpha}, με α≠−1\alpha \neq -1xα+1α+1+c\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c
1x\dfrac{1}{x}ln⁡∣x∣+c\ln\lvert x \rvert + c
exe^xex+ce^x + c
ημx\eta\mu x−συνx+c-\sigma\upsilon\nu x + c
συνx\sigma\upsilon\nu xημx+c\eta\mu x + c

Κάθε γραμμή είναι μια γραμμή του πίνακα παραγώγων διαβασμένη ανάποδα. Η δεύτερη είναι η εξαίρεση που δικαιολογεί τον περιορισμό α≠−1\alpha \neq -1 στην πρώτη: ο τύπος της δύναμης θα έδινε διαίρεση με το μηδέν.

Η ολοκλήρωση είναι γραμμική — περνάει μέσα από αθροίσματα και από σταθερούς παράγοντες. Δεν υπάρχει όμως κανόνας γινομένου ούτε πηλίκου· στη θέση τους υπάρχουν δύο τεχνικές.

Το ορισμένο ολοκλήρωμα

Το ∫αβf(x) dx\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx δεν είναι συνάρτηση αλλά αριθμός, και ορίζεται ως όριο αθροισμάτων: χωρίζεις το [α,β][\alpha, \beta] σε λωρίδες, φτιάχνεις ορθογώνια, προσθέτεις τα εμβαδά τους, και πυκνώνεις τις λωρίδες.

Το άθροισμα που γίνεται ολοκλήρωμα

Η f(x) = x² από το 0 ως το 2. Κάθε ορθογώνιο έχει εμβαδόν «ύψος επί πλάτος» και το άθροισμα υπολογίζεται με το χέρι. Ανέβασε το πλήθος: στα 64 ορθογώνια η διαφορά από το 8/3 είναι στο τέταρτο δεκαδικό.

Άθροισμα
2,5
Ακριβής τιμή
2,667
Διαφορά
0,167

Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Αν η ff είναι συνεχής στο [α,β][\alpha, \beta] και FF μια οποιαδήποτε αρχική της, τότε

∫αβf(x) dx=F(β)−F(α)\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx = F(\beta) - F(\alpha)

Οι δύο τεχνικές

Κατά παράγοντες, όταν το ολοκλήρωμα είναι γινόμενο δύο ανόμοιων πραγμάτων:

∫f′(x)g(x) dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x) dx\int f'(x) g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x) g'(x)\,dx

Διαλέγεις ποιος παράγοντας θα παραγωγιστεί έτσι ώστε το νέο ολοκλήρωμα να είναι ευκολότερο. Σε ∫xex dx\int x e^x\,dx παραγωγίζεται το xx, γιατί γίνεται 11 και εξαφανίζεται.

Με αντικατάσταση, όταν μέσα στην παράσταση βλέπεις μια συνάρτηση και την παράγωγό της:

∫f(g(x)) g′(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))\, g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

με u=g(x)u = g(x).

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Βρες την αρχική FF της f(x)=3x2−4xf(x) = 3x^2 - 4x με F(1)=5F(1) = 5

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Υπολόγισε το int02(x2+1),dx\\int_{0}^{2} (x^2 + 1)\\,dx

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Υπολόγισε το intxex,dx\\int x e^x\\,dx με ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Υπολόγισε το int012x,ex2,dx\\int_{0}^{1} 2x \\, e^{x^2}\\,dx με αντικατάσταση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Υπολόγισε το ∫(3x2+2) dx\int (3x^2 + 2)\,dx.

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Αρχική συνάρτηση της ff λέγεται κάθε FF με:

Τα κατάφερες;

  • Να βρίσκεις αρχικές συναρτήσεις και να γράφεις σωστά τη σταθερά ολοκλήρωσης.
  • Να υπολογίζεις ορισμένα ολοκληρώματα με το θεμελιώδες θεώρημα.
  • Να ολοκληρώνεις κατά παράγοντες και με αντικατάσταση.
  • Να χρησιμοποιείς τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, ιδίως τη διάσπαση διαστήματος.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.