Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Εμβαδά με ολοκλήρωμα

Από το άθροισμα λεπτών λωρίδων στο ακριβές εμβαδόν.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να υπολογίζεις το εμβαδόν χωρίου ανάμεσα σε καμπύλη και άξονα.
  2. Να ξεχωρίζεις το ολοκλήρωμα από το εμβαδόν όταν η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο.
  3. Να βρίσκεις το εμβαδόν ανάμεσα σε δύο καμπύλες, ξεκινώντας από τα σημεία τομής τους.
  4. Να στήνεις σωστά το ολοκλήρωμα: ποια συνάρτηση είναι επάνω και ποια τα όρια.

Το ολοκλήρωμα δεν είναι πάντα εμβαδόν

Αν η ff είναι συνεχής και μη αρνητική στο [α,β][\alpha, \beta], το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στη γραφική της παράσταση και στον άξονα xx είναι

E=∫αβf(x) dxE = \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx

Οι δύο λέξεις με έντονα γράμματα δεν είναι διακοσμητικές. Όπου η ff είναι αρνητική, τα ορθογώνια του αθροίσματος έχουν αρνητικό ύψος, και το ολοκλήρωμα αφαιρεί αντί να προσθέτει.

Το εμβαδόν, όμως, είναι πάντα θετικό. Άρα όταν η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο, τα δύο μεγέθη αποκλίνουν και η εκφώνηση ζητάει προσεκτικό διάβασμα: «υπολόγισε το ολοκλήρωμα» και «υπολόγισε το εμβαδόν» είναι δύο διαφορετικές ερωτήσεις.

Ανάμεσα σε δύο καμπύλες

Αν f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) σε όλο το [α,β][\alpha, \beta], το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσά τους είναι

E=∫αβ(f(x)−g(x))dxE = \int_{\alpha}^{\beta} \left( f(x) - g(x) \right) dx

Πάνω μείον κάτω, πάντα με αυτή τη σειρά. Αυτός ο τύπος περιέχει και τον προηγούμενο: το χωρίο ως προς τον άξονα είναι η ειδική περίπτωση g(x)=0g(x) = 0.

Και δεν χρειάζεται καμία από τις δύο να είναι θετική. Αν κατεβάσεις και τις δύο κατά την ίδια σταθερά, η διαφορά δεν αλλάζει — γι' αυτό ο τύπος δουλεύει και κάτω από τον άξονα.

Το χωρίο ανάμεσα σε δύο καμπύλες

Η ευθεία y = x + 2 και η παραβολή y = x², από το −1 ως το 2. Κάθε λωρίδα έχει ύψος «πάνω μείον κάτω». Ανέβασε το πλήθος και το άθροισμα πλησιάζει το 4,5.

Άθροισμα
5,063
Ακριβής τιμή
4,5
Διαφορά
0,563

Πώς στήνεται η άσκηση

Τα όρια σπάνια δίνονται. Συνήθως είναι οι τετμημένες των σημείων τομής, και βρίσκονται λύνοντας f(x)=g(x)f(x) = g(x).

Μετά χρειάζεται να ξέρεις ποια είναι επάνω. Ένας έλεγχος με μία τιμή μέσα στο διάστημα αρκεί: αν στο ενδιάμεσο σημείο η μία δίνει μεγαλύτερη τιμή, τότε είναι επάνω σε όλο το διάστημα — γιατί αν την έχανε, θα υπήρχε άλλο σημείο τομής ανάμεσα.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Βρες το εμβαδόν ανάμεσα στη CfC_f της f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 και στον άξονα xx

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Υπολόγισε το εμβαδόν ανάμεσα στην f(x)=x3f(x) = x^3 και στον άξονα xx, στο [−1,1][-1, 1]

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Βρες το εμβαδόν ανάμεσα στις f(x)=x+2f(x) = x + 2 και g(x)=x2g(x) = x^2

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Βρες το εμβαδόν ανάμεσα στην f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x και στον άξονα xx, στο [0,2][0, 2]

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Βρες το εμβαδόν ανάμεσα στη γραφική παράσταση της f(x)=2xf(x) = 2x και στον άξονα xx, στο [0,3][0, 3].

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Το ∫αβf(x) dx\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx ισούται με το εμβαδόν κάτω από τη CfC_f:

Τα κατάφερες;

  • Να υπολογίζεις το εμβαδόν χωρίου ανάμεσα σε καμπύλη και άξονα.
  • Να ξεχωρίζεις το ολοκλήρωμα από το εμβαδόν όταν η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο.
  • Να βρίσκεις το εμβαδόν ανάμεσα σε δύο καμπύλες, ξεκινώντας από τα σημεία τομής τους.
  • Να στήνεις σωστά το ολοκλήρωμα: ποια συνάρτηση είναι επάνω και ποια τα όρια.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.