Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Θεωρήματα Rolle και Μέσης Τιμής

Δύο θεωρήματα που φαίνονται προφανή και αποδεικνύουν τα πάντα.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να διατυπώνεις τα θεωρήματα Rolle και Μέσης Τιμής με όλες τις υποθέσεις τους.
  2. Να ελέγχεις αν εφαρμόζονται σε δοσμένη συνάρτηση και διάστημα, και να βρίσκεις το ξ.
  3. Να χρησιμοποιείς το Rolle για να δείξεις ότι μια εξίσωση έχει ρίζα.
  4. Να αποδεικνύεις ότι συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε διάστημα είναι σταθερή.

Δύο θεωρήματα που είναι ένα

Το θεώρημα Rolle και το θεώρημα Μέσης Τιμής λέγονται χωριστά και αποδεικνύονται χωριστά, αλλά η εικόνα τους είναι η ίδια: κάπου μέσα στο διάστημα, η εφαπτομένη γίνεται παράλληλη με τη χορδή. Στο Rolle η χορδή τυχαίνει να είναι οριζόντια.

Θεώρημα Rolle

Αν για την ff ισχύουν και τα τρία:

  1. είναι συνεχής στο κλειστό [α,β][\alpha, \beta]
  2. είναι παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β)(\alpha, \beta)
  3. f(α)=f(β)f(\alpha) = f(\beta)

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(α,β)\xi \in (\alpha, \beta) με f′(ξ)=0f'(\xi) = 0.

Θεώρημα Μέσης Τιμής

Ίδιες οι δύο πρώτες υποθέσεις, χωρίς την τρίτη. Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(α,β)\xi \in (\alpha, \beta) με

f′(ξ)=f(β)−f(α)β−αf'(\xi) = \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha}

Το δεξί μέλος είναι η κλίση της χορδής, δηλαδή ο μέσος ρυθμός μεταβολής. Το θεώρημα λέει ότι ο μέσος ρυθμός επιτυγχάνεται κάποια στιγμή ως στιγμιαίος.

Η χορδή και η εφαπτομένη που της μοιάζει

Η f(x) = x³ − 3x. Στην αρχική θέση τα άκρα δίνουν ίδια τιμή — αυτή είναι η περίπτωση Rolle, και η χορδή είναι οριζόντια. Σύρε το β στο 2: η χορδή γέρνει, και τώρα υπάρχουν δύο ξ. Το θεώρημα λέει «ένα τουλάχιστον», ποτέ «ακριβώς ένα».

Κλίση χορδής
0

Ίδιες τιμές στα άκρα: οριζόντια χορδή, δηλαδή η περίπτωση Rolle.Ένα ξ: −1

Οι δύο συνέπειες που ζητιούνται ως θεωρία

Αν f′(x)=0f'(x) = 0 για κάθε xx σε ένα διάστημα Δ\Delta, τότε η ff είναι σταθερή στο Δ\Delta.

Η απόδειξη είναι μία εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής: για δύο τυχαία x1<x2x_1 < x_2 του Δ\Delta υπάρχει ξ\xi ανάμεσά τους με

f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)=0⋅(x2−x1)=0f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0

άρα f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) για κάθε ζεύγος, δηλαδή η ff είναι σταθερή.

Αν f′(x)=g′(x)f'(x) = g'(x) για κάθε x∈Δx \in \Delta, τότε οι ff και gg διαφέρουν κατά σταθερά. Εφαρμόζεις το προηγούμενο στη διαφορά h=f−gh = f - g, που έχει h′=0h' = 0.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Ισχύει το θεώρημα Rolle για την f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 στο [1,3][1, 3]; Βρες το xi\\xi.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Εφάρμοσε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f(x)=x2f(x) = x^2 στο [0,2][0, 2]

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Δείξε ότι η εξίσωση 3x2−6x+2=03x^2 - 6x + 2 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)(0, 1)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Αν f′(x)=0f'(x) = 0 για κάθε xin(0,+infty)x \\in (0, +\\infty) και f(1)=5f(1) = 5, βρες τον τύπο της ff

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Για την f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 στο [1,3][1, 3], βρες το ξ\xi του θεωρήματος Rolle.

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Ποια υπόθεση έχει το θεώρημα Rolle και δεν έχει το Θεώρημα Μέσης Τιμής;

Τα κατάφερες;

  • Να διατυπώνεις τα θεωρήματα Rolle και Μέσης Τιμής με όλες τις υποθέσεις τους.
  • Να ελέγχεις αν εφαρμόζονται σε δοσμένη συνάρτηση και διάστημα, και να βρίσκεις το ξ.
  • Να χρησιμοποιείς το Rolle για να δείξεις ότι μια εξίσωση έχει ρίζα.
  • Να αποδεικνύεις ότι συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε διάστημα είναι σταθερή.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.