Όριο συνάρτησης

«Κοντά» δεν σημαίνει «πάνω»

Το όριο απαντάει σε μια ερώτηση που μοιάζει περίεργη την πρώτη φορά: πού πηγαίνουν οι τιμές της $f$ καθώς το $x$ πλησιάζει το $x_0$ — χωρίς να ρωτήσουμε ποτέ τι γίνεται στο $x_0$.

Ο λόγος που η ερώτηση τίθεται έτσι είναι πρακτικός. Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι ακριβώς εκείνες όπου το $x_0$ δεν δίνει απάντηση: παρονομαστής που μηδενίζεται, κλάσμα που γίνεται $\frac{0}{0}$, ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή. Αν χρειαζόμασταν την τιμή στο $x_0$, δεν θα είχαμε τίποτα να πούμε.

Γράφουμε

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$$

και διαβάζουμε: όσο κοντά κι αν θέλουμε να φτάσουν οι τιμές $f(x)$ στο $\ell$, υπάρχει μια περιοχή γύρω από το $x_0$ μέσα στην οποία φτάνουν.

Ζούμαρε γύρω από το x₀ = 2

Η f(x) = (x² − 4)/(x − 2) δεν ορίζεται στο 2 — εδώ της δίνουμε αυθαίρετα την τιμή 1, το γεμάτο σημείο. Ανέβασε το ζουμ: οι τιμές εκατέρωθεν πλησιάζουν το 4 όσο θέλεις, και το γεμάτο σημείο μένει εκεί που είναι χωρίς να τις επηρεάζει.

Ζουμ×1

Από αριστερά, στο 1

3

Από δεξιά, στο 3

5

Η τιμή στο x₀

1

Το όριο

4

Πλευρικά όρια

Στο $x_0$ φτάνεις από δύο μεριές, και δεν είναι υποχρεωμένες να συμφωνήσουν — το αριστερό πλευρικό όριο $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ και το δεξιό $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$.

Το κριτήριο είναι απλό και το χρησιμοποιείς σε κάθε συνάρτηση πολλαπλού τύπου:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell$$

Όταν οι δύο μεριές διαφωνούν

Η f(x) = |x|/x είναι −1 αριστερά του μηδενός και +1 δεξιά. Ζουμάρε όσο θέλεις: οι δύο τιμές δεν πλησιάζουν ποτέ η μία την άλλη. Εδώ το όριο δεν υπάρχει — και δεν υπάρχει τίποτα να ζωγραφιστεί στη θέση του.

Ζουμ×1

Από αριστερά, στο −2

−1

Από δεξιά, στο 2

1

Η τιμή στο x₀

δεν ορίζεται

Πώς υπολογίζεται στην πράξη

Οι ιδιότητες λένε ότι το όριο «περνάει μέσα» από τις πράξεις. Αν υπάρχουν τα $\lim_{x \to x_0} f(x)$ και $\lim_{x \to x_0} g(x)$:

$$\lim (f + g) = \lim f + \lim g, \qquad \lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g, \qquad \lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$$

με τον τελευταίο να ισχύει μόνο όταν $\lim g \neq 0$. Από αυτές προκύπτει ότι για πολυωνυμική και για ρητή συνάρτηση, εκεί που ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται, το όριο βρίσκεται με σκέτη αντικατάσταση.

Όλη η δυσκολία μαζεύεται στην περίπτωση που μένει: όταν αριθμητής και παρονομαστής μηδενίζονται μαζί.

Η μορφή 0/0

Το $\frac{0}{0}$ δεν είναι αριθμός και δεν είναι λάθος. Είναι απροσδιόριστη μορφή: μια ένδειξη ότι η αντικατάσταση δεν αρκεί, και ότι το όριο μπορεί να βγει οτιδήποτε ανάλογα με το ποιος μηδενίζεται πιο γρήγορα.

Δύο τεχνικές το καθαρίζουν σχεδόν πάντα στη Γ΄ Λυκείου:

• Παραγοντοποίηση. Αν $x_0$ μηδενίζει και τα δύο πολυώνυμα, τότε το $x - x_0$ είναι κοινός παράγοντας. Απλοποιείς και ξαναδοκιμάζεις.
• Συζυγής παράσταση. Όταν υπάρχει ρίζα, πολλαπλασιάζεις αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή, ώστε η διαφορά τετραγώνων να διαλύσει τη ρίζα.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση