Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Συνέχεια συνάρτησης

Το θεώρημα Bolzano και γιατί μια ρίζα δεν μπορεί να κρυφτεί.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να ελέγχεις τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε σημείο, ιδίως σε σημείο αλλαγής κλάδου.
  2. Να βρίσκεις το σύνολο στο οποίο μια συνάρτηση είναι συνεχής.
  3. Να διατυπώνεις το θεώρημα Bolzano με όλες τις υποθέσεις του και να ελέγχεις αν εφαρμόζεται.
  4. Να αποδεικνύεις ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε δοσμένο διάστημα.

Συνέχεια: όταν το όριο συμφωνεί με την τιμή

Στο προηγούμενο μάθημα το όριο και η τιμή ήταν δύο ανεξάρτητοι αριθμοί. Οι συναρτήσεις για τις οποίες συμφωνούν έχουν όνομα.

Η ff λέγεται συνεχής στο x0x_0 όταν

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Η ισότητα αυτή είναι συμπυκνωμένη: για να γραφτεί, πρέπει να ισχύουν τρία πράγματα ταυτόχρονα.

  1. Η ff ορίζεται στο x0x_0 — αλλιώς το δεξί μέλος δεν υπάρχει.
  2. Το όριο στο x0x_0 υπάρχει — αλλιώς το αριστερό μέλος δεν υπάρχει.
  3. Οι δύο αριθμοί είναι ίσοι.

Όταν κάποιο από τα τρία πέφτει, η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο x0x_0 — και στην άσκηση λες ποιο από τα τρία έπεσε.

Το σημείο αλλαγής κλάδου

Εκεί είναι που κρίνεται το θέμα, και η διαδικασία είναι πάντα η ίδια: υπολογίζεις τα δύο πλευρικά όρια και την τιμή, και τα τρία πρέπει να βγουν ίδια.

lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Αν η άσκηση έχει παράμετρο, αυτή η διπλή ισότητα είναι το σύστημα που τη λύνει.

Το θεώρημα Bolzano

Έστω συνάρτηση ff ορισμένη στο [α,β][\alpha, \beta]. Αν

  • η ff είναι συνεχής στο κλειστό [α,β][\alpha, \beta], και
  • f(α)⋅f(β)<0f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0∈(α,β)x_0 \in (\alpha, \beta) με f(x0)=0f(x_0) = 0.

Η διαίσθηση είναι ότι μια συνεχής καμπύλη δεν μπορεί να περάσει από κάτω από τον άξονα προς τα πάνω χωρίς να τον αγγίξει. Η ουσία όμως είναι στις δύο υποθέσεις: πέφτει οποιαδήποτε από τις δύο, και το συμπέρασμα χάνεται.

Διάλεξε το διάστημα

Η f(x) = x³ − 3x είναι συνεχής παντού. Σύρε τα άκρα και κοίτα το γινόμενο f(α)·f(β). Δοκίμασε και α = −2, β = 1: τα πρόσημα συμφωνούν, το θεώρημα δεν λέει τίποτα — και όμως μέσα στο διάστημα υπάρχουν δύο ρίζες.

f(−1)
2
f(1)
−2
f(α) · f(β)
−4

Ετερόσημα: το θεώρημα εγγυάται ρίζα μέσα στο (α, β).Μία ρίζα στο διάστημα.

Πώς γράφεται η λύση

Όταν η άσκηση ζητάει να δείξεις ότι μια εξίσωση έχει ρίζα σε διάστημα, η πλήρης απάντηση αναφέρει και τις τρεις γραμμές:

  1. Θεωρώ τη συνάρτηση ff και δηλώνω ότι είναι συνεχής στο κλειστό [α,β][\alpha, \beta], λέγοντας γιατί.
  2. Υπολογίζω τα f(α)f(\alpha), f(β)f(\beta) και δείχνω ότι το γινόμενό τους είναι αρνητικό.
  3. Επικαλούμαι το θεώρημα και γράφω το συμπέρασμα με το «τουλάχιστον».

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Για ποιο α\alpha είναι η ff συνεχής στο x0=2x_0 = 2;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Σε ποιο σύνολο είναι συνεχής η f(x)=x+1x2−4f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 4};

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Δείξε ότι η εξίσωση x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)(0, 1)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Η ff είναι συνεχής στο [1,4][1, 4] με f(1)=−3f(1) = -3 και f(4)=5f(4) = 5. Τι μπορείς να συμπεράνεις;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Σε ποιο σύνολο είναι συνεχής η f(x)=x+2x2−9f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 - 9};

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Η ff είναι συνεχής στο x0x_0 όταν:

Τα κατάφερες;

  • Να ελέγχεις τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε σημείο, ιδίως σε σημείο αλλαγής κλάδου.
  • Να βρίσκεις το σύνολο στο οποίο μια συνάρτηση είναι συνεχής.
  • Να διατυπώνεις το θεώρημα Bolzano με όλες τις υποθέσεις του και να ελέγχεις αν εφαρμόζεται.
  • Να αποδεικνύεις ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε δοσμένο διάστημα.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.