Η παράγωγος

Η κλίση σε ένα σημείο

Η κλίση μιας ευθείας είναι εύκολη: δύο σημεία, μια διαίρεση. Η κλίση μιας καμπύλης σε ένα σημείο δεν είναι, γιατί το ένα σημείο δεν αρκεί για διαίρεση.

Η λύση είναι να δανειστείς ένα δεύτερο σημείο και μετά να το επιστρέψεις. Παίρνεις το $x_0$ και ένα κοντινό $x_0 + h$, φτιάχνεις την κλίση της τέμνουσας

$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

και αφήνεις το $h$ να πάει στο μηδέν. Αν το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, λέγεται παράγωγος της $f$ στο $x_0$:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Η τέμνουσα που γίνεται εφαπτομένη

Η f(x) = x² και το σταθερό σημείο στο x₀ = 1. Μίκραινε το h: το δεύτερο σημείο γλιστράει προς το πρώτο και η μπλε τέμνουσα πέφτει πάνω στην πράσινη εφαπτομένη. Πρόσεξε ότι οι δύο αριθμοί δεν γίνονται ποτέ ίσοι — γι' αυτό χρειάζεται όριο και όχι «πολύ μικρό h».

h2

Δεύτερο σημείο

3

Κλίση τέμνουσας(f(x₀+h) − f(x₀)) / h

4

Κλίση εφαπτομένης

2

Το h δεν φτάνει ποτέ στο μηδέν. Το μικρότερο σκαλί του διακόπτη είναι ακόμα θετικός αριθμός.

Η εξίσωση της εφαπτομένης

Ξέρεις ένα σημείο και μια κλίση, άρα ξέρεις την ευθεία:

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

Δύο πράγματα χρειάζονται πριν τη γράψεις: η τιμή $f(x_0)$ και η παράγωγος $f'(x_0)$. Οι μισές χαμένες μονάδες σε αυτό το θέμα είναι ένα από τα δύο ξεχασμένο.

Παραγωγίσιμη σημαίνει και συνεχής

Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, τότε είναι και συνεχής εκεί. Η απόδειξη είναι σύντομη και ζητιέται ως θεωρία:

$$f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$$

Καθώς $x \to x_0$, ο πρώτος παράγοντας τείνει στο $f'(x_0)$ και ο δεύτερος στο $0$, οπότε το γινόμενο τείνει στο $0$. Άρα $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, δηλαδή συνέχεια.

Ο ρυθμός μεταβολής

Όταν η μεταβλητή είναι ο χρόνος, η παράγωγος έχει όνομα από τη φυσική:

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση