Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Κανόνες παραγώγισης

Γινόμενο, πηλίκο, σύνθετη συνάρτηση.

28 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να παραγωγίζεις τις βασικές συναρτήσεις χωρίς να ανατρέχεις στον ορισμό.
  2. Να εφαρμόζεις τους κανόνες γινομένου και πηλίκου χωρίς να τους μπερδεύεις μεταξύ τους.
  3. Να παραγωγίζεις σύνθετη συνάρτηση με τον κανόνα της αλυσίδας, αναγνωρίζοντας εσωτερική και εξωτερική.
  4. Να υπολογίζεις δεύτερη παράγωγο και να ξέρεις πότε χρειάζεται.

Ο πίνακας που πρέπει να ξέρεις απέξω

Ο ορισμός δούλεψε μία φορά για κάθε συνάρτηση, και μετά δεν τον ξαναχρησιμοποιεί κανείς. Αυτά είναι τα αποτελέσματα:

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
cc (σταθερά)00
xx11
xνx^{\nu}νxν−1\nu x^{\nu - 1}
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\dfrac{1}{x}
ημx\eta\mu xσυνx\sigma \upsilon \nu x
συνx\sigma \upsilon \nu x−ημx-\eta\mu x

Το (xν)′=νxν−1\left(x^{\nu}\right)' = \nu x^{\nu-1} καλύπτει και τα αρνητικά και τα κλασματικά: το 1x=x−1\dfrac{1}{x} = x^{-1} δίνει −x−2-x^{-2}, και το x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2} δίνει τη γραμμή από πάνω.

Η συνάρτηση και η παράγωγός της, μαζί

Πάνω η f, από κάτω η f΄. Σύρε τα α και β και πρόσεξε τη σχέση: όπου η μπλε καμπύλη κορυφώνεται, η πράσινη περνάει από το μηδέν· όπου η μπλε ανεβαίνει, η πράσινη είναι πάνω από τον άξονα.

  • f(x) = αx³ + βx
  • f΄(x) = 3αx² + β

Οι τέσσερις κανόνες

Άθροισμα και σταθερός παράγοντας. Οι εύκολοι, και οι μόνοι που δουλεύουν όπως θα μάντευες:

(f+g)′=f′+g′,(c⋅f)′=c⋅f′(f + g)' = f' + g', \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f'

Γινόμενο. Ο πρώτος που δεν δουλεύει όπως θα μάντευες — η παράγωγος γινομένου δεν είναι γινόμενο παραγώγων:

(f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f' g + f g'

Πηλίκο. Ίδια λογική, με μείον και παρονομαστή:

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

Σύνθετη συνάρτηση — ο κανόνας της αλυσίδας. Παραγωγίζεις την εξωτερική αφήνοντας την εσωτερική ως έχει, και πολλαπλασιάζεις με την παράγωγο της εσωτερικής:

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Δεύτερη παράγωγος

Παραγωγίζοντας την f′f' παίρνεις την f′′f''. Δεν είναι άσκηση επίδειξης: η δεύτερη παράγωγος είναι αυτή που δίνει την κυρτότητα και την επιτάχυνση, και τη χρειάζεσαι σε δύο μαθήματα.

f(x)=x4  ⟹  f′(x)=4x3  ⟹  f′′(x)=12x2f(x) = x^4 \implies f'(x) = 4x^3 \implies f''(x) = 12x^2

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Παραγώγισε την f(x)=xcdotexf(x) = x \\cdot e^x

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Παραγώγισε την f(x)=dfrac2x+1x−1f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x - 1}

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Παραγώγισε την f(x)=(3x2−1)5f(x) = (3x^2 - 1)^5

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Παραγώγισε την f(x)=ln(x2+1)f(x) = \\ln(x^2 + 1) και βρες πού μηδενίζεται η f′f'

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Παραγώγισε την f(x)=x4−3x+7f(x) = x^4 - 3x + 7.

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Πόσο είναι η παράγωγος της f(x)=x5f(x) = x^5;

Τα κατάφερες;

  • Να παραγωγίζεις τις βασικές συναρτήσεις χωρίς να ανατρέχεις στον ορισμό.
  • Να εφαρμόζεις τους κανόνες γινομένου και πηλίκου χωρίς να τους μπερδεύεις μεταξύ τους.
  • Να παραγωγίζεις σύνθετη συνάρτηση με τον κανόνα της αλυσίδας, αναγνωρίζοντας εσωτερική και εξωτερική.
  • Να υπολογίζεις δεύτερη παράγωγο και να ξέρεις πότε χρειάζεται.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.