Συναρτήσεις — μονοτονία και αντίστροφη

Η ερώτηση που αλλάζει στη Γ΄

Στη Β΄ ρωτούσες τι κάνει η $f$ σε ένα $x$. Φέτος ρωτάς το ανάποδο: αν ξέρεις το αποτέλεσμα, μπορείς να βρεις το $x$;

Δεν μπορείς πάντα. Αν $f(x) = x^2$, τότε $f(3) = 9$ και $f(-3) = 9$. Βλέποντας το $9$ δεν ξέρεις από πού ήρθε. Οι συναρτήσεις για τις οποίες το ξέρεις έχουν όνομα, και είναι το μόνο είδος που αντιστρέφεται.

Συνάρτηση 1-1

Η $f: A \to \mathbb{R}$ λέγεται 1-1 όταν δύο διαφορετικά $x$ δεν δίνουν ποτέ την ίδια τιμή:

$$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$

Στην πράξη δουλεύεις με την ισοδύναμη μορφή, γιατί είναι πιο εύκολο να χειριστείς ισότητες παρά ανισότητες:

$$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$$

Γραφικά ο έλεγχος γίνεται με οριζόντιες ευθείες: αν κάποια $y = k$ τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο ή περισσότερα σημεία, η συνάρτηση δεν είναι 1-1 — τα σημεία αυτά έχουν διαφορετικό $x$ και ίδιο $y$.

Το τεστ της οριζόντιας ευθείας

Σύρε το ύψος k και κοίτα σε πόσα σημεία κόβει την καμπύλη. Μετά σύρε το β: με β = 0 καμία οριζόντια δεν κόβει δύο φορές, με β = −3 πολλές κόβουν τρεις.

β0

ύψος k1

• f(x) = x³ + βx
• y = k

Δοκίμασε

Είναι 1-1Δεν είναι 1-1

Ο γρήγορος δρόμος: η μονοτονία

Αν η $f$ είναι γνησίως μονότονη σε ένα σύνολο, τότε είναι και 1-1 εκεί. Η απόδειξη είναι δύο γραμμές και ζητιέται ως θεωρία:

Έστω $f$ γνησίως αύξουσα και $x_1 \neq x_2$. Τότε είτε $x_1 < x_2$, οπότε $f(x_1) < f(x_2)$, είτε $x_1 > x_2$, οπότε $f(x_1) > f(x_2)$. Και στις δύο περιπτώσεις $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Η αντίστροφη συνάρτηση

Όταν η $f: A \to \mathbb{R}$ είναι 1-1, κάθε $y$ του συνόλου τιμών $f(A)$ προέρχεται από ακριβώς ένα $x$. Αυτή η αντιστοίχιση είναι κι αυτή συνάρτηση, και λέγεται αντίστροφη της $f$:

$$f^{-1}: f(A) \to A, \qquad f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$$

Δύο πράγματα προκύπτουν αμέσως από τον ορισμό και ρωτιούνται συνεχώς:

Και οι δύο σχέσεις που τις λένε «αντίστροφες» — η πρώτη για κάθε $x \in A$, η δεύτερη για κάθε $y \in f(A)$:

$$f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y$$

Η αντίστροφη είναι η ίδια καμπύλη, καθρεφτισμένη

Η διακεκομμένη y = x είναι ο καθρέφτης. Κάθε σημείο (α, β) της μιας καμπύλης αντιστοιχεί σε σημείο (β, α) της άλλης.

• f(x) = eˣ
• f⁻¹(x) = ln x
• y = x

Ο καθρεφτισμός δεν είναι σύμπτωση: αν το $(\alpha, \beta)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$, τότε $f(\alpha) = \beta$, άρα $f^{-1}(\beta) = \alpha$, δηλαδή το $(\beta, \alpha)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f^{-1}$. Η εναλλαγή των συντεταγμένων είναι η συμμετρία ως προς την ευθεία $y = x$.

Πώς βρίσκεις τον τύπο

Τρία βήματα, πάντα τα ίδια:

1. Απόδειξε ότι η $f$ είναι 1-1. Χωρίς αυτό η $f^{-1}$ δεν υπάρχει και ό,τι γράψεις παρακάτω δεν σημαίνει τίποτα.
2. Λύσε την $y = f(x)$ ως προς $x$. Ό,τι βγει είναι ο τύπος, με το $y$ στη θέση του ορίσματος.
3. Βρες το σύνολο τιμών $f(A)$. Αυτό είναι το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$, και είναι το κομμάτι που χάνει τις μονάδες.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση