Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Από πού ξεκινούν οι αριθμοί

Δεν υπάρχει ένα είδος αριθμού. Υπάρχουν σύνολα αριθμών, το ένα μέσα στο άλλο, και κάθε φορά που κάποια πράξη «δεν έβγαινε», οι μαθηματικοί μεγάλωσαν το σύνολο.

• Φυσικοί $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ — μετράς με αυτούς. Αλλά το $3 - 5$ δεν έχει απάντηση εδώ.
• Ακέραιοι $\mathbb{Z}$ — προσθέτεις τους αρνητικούς και η αφαίρεση βγαίνει πάντα. Αλλά το $3 : 2$ δεν βγαίνει.
• Ρητοί $\mathbb{Q}$ — ό,τι γράφεται ως κλάσμα $\frac{\alpha}{\beta}$ με $\beta \neq 0$. Τώρα βγαίνει και η διαίρεση. Αλλά το $\sqrt{2}$ δεν γράφεται ως κλάσμα.
• Πραγματικοί $\mathbb{R}$ — προσθέτεις και τους άρρητους ($\sqrt{2}$, $\pi$) και γεμίζει ολόκληρη η αριθμογραμμή.

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Οι ιδιότητες δεν είναι διακοσμητικές

Όταν γράφεις $2(x + 3) = 2x + 6$, δεν το κάνεις επειδή «έτσι μαθαίνεται». Το κάνεις επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα. Κάθε βήμα σε μια πράξη δικαιολογείται από μία συγκεκριμένη ιδιότητα:

Και η επιμεριστική, που συνδέει τις δύο πράξεις: $\alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma$.

Τρεις ταυτότητες που πρέπει να διαβάζεις και ανάποδα

$$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$ $$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$$ $$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)$$

Από αριστερά προς τα δεξιά τις λες ανάπτυξη. Από δεξιά προς τα αριστερά, παραγοντοποίηση — και εκεί κάνουν τη δουλειά τους, γιατί ένα γινόμενο μηδενίζεται πολύ πιο εύκολα από ένα άθροισμα.

Διάταξη και διαστήματα

Στους πραγματικούς υπάρχει σειρά: για κάθε δύο αριθμούς, ή ο ένας είναι μικρότερος, ή ο άλλος, ή είναι ίσοι. Οι ιδιότητες που χρησιμοποιείς συνέχεια:

• Αν $\alpha < \beta$, τότε $\alpha + \gamma < \beta + \gamma$ για κάθε $\gamma$.
• Αν $\alpha < \beta$ και $\gamma > 0$, τότε $\alpha\gamma < \beta\gamma$.
• Αν $\alpha < \beta$ και $\gamma < 0$, τότε $\alpha\gamma > \beta\gamma$ — η φορά αλλάζει.

Ένα σύνολο διαδοχικών πραγματικών γράφεται ως διάστημα. Σύρε τα άκρα και δες πώς το ίδιο σύνολο γράφεται με ανισότητα και με αγκύλες.

Το διάστημα (α, β)

Σύρε τα άκρα. Αν το α περάσει το β, το διάστημα αδειάζει — και αυτό δεν είναι σφάλμα, είναι απάντηση.

α−3

β4

Ζωντανή ενημέρωση

Σύνολο λύσεων

−3 … 4

Ο συμβολισμός:

• $(\alpha, \beta)$ — ανοικτό: τα άκρα δεν ανήκουν. Ισοδύναμα $\alpha < x < \beta$.
• $[\alpha, \beta]$ — κλειστό: τα άκρα ανήκουν. Ισοδύναμα $\alpha \leq x \leq \beta$.
• $[\alpha, +\infty)$ — από το $\alpha$ και πάνω. Το $+\infty$ δεν είναι αριθμός, γι' αυτό δίπλα του μπαίνει πάντα παρένθεση, ποτέ αγκύλη.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση