Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Απόλυτη τιμή

Απόσταση από το μηδέν — και γιατί αυτό αλλάζει τα πάντα.

25 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να εξηγείς την απόλυτη τιμή ως απόσταση και όχι ως «βγάζω το μείον».
  2. Να λύνεις εξισώσεις της μορφής |παράσταση| = α με διερεύνηση στο α.
  3. Να λύνεις τις ανισώσεις |x| < α και |x| > α και να γράφεις τη λύση ως διάστημα.
  4. Να διαβάζεις το |x − α| ως απόσταση του x από το α.

Απόσταση, όχι «βγάζω το μείον»

Η απόλυτη τιμή του xx, γραμμένη ∣x∣|x|, είναι η απόσταση του xx από το μηδέν πάνω στην αριθμογραμμή.

Η απόσταση δεν είναι ποτέ αρνητική. Γι' αυτό ∣−5∣=5|{-5}| = 5 και ∣5∣=5|5| = 5: και οι δύο αριθμοί απέχουν πέντε βήματα από το μηδέν, απλώς προς διαφορετικές κατευθύνσεις.

Ο τυπικός ορισμός λέει ακριβώς το ίδιο, με πράξεις:

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

Η γραφική παράσταση

Δες τι κάνει η απόλυτη τιμή σε μια ευθεία. Σύρε το α\alpha και πρόσεξε: το κομμάτι που θα ήταν κάτω από τον άξονα xx «αναδιπλώνεται» προς τα πάνω.

Η y = |αx + β| δίπλα στην y = αx + β

Η διακεκομμένη είναι η ευθεία χωρίς απόλυτο. Η συνεχής είναι με απόλυτο — ίδια παντού όπου η ευθεία είναι πάνω από τον άξονα, καθρέφτης όπου είναι κάτω.

  • y = |αx + β|
  • y = αx + β

Το σημείο όπου η γραφική παράσταση «σπάει» είναι εκεί που το εσωτερικό του απολύτου μηδενίζεται. Εκεί αλλάζει ο κλάδος του ορισμού.

Εξισώσεις με απόλυτη τιμή

Η εξίσωση ∣x∣=α|x| = \alpha ρωτάει: ποιοι αριθμοί απέχουν α\alpha από το μηδέν; Η απάντηση εξαρτάται από το α\alpha:

  • α>0\alpha > 0 — δύο αριθμοί, ένας δεξιά και ένας αριστερά: x=αx = \alpha ή x=−αx = -\alpha.
  • α=0\alpha = 0 — ένας μόνο: x=0x = 0.
  • α<0\alpha < 0 — κανένας. Καμία απόσταση δεν είναι αρνητική. Η εξίσωση είναι αδύνατη.

Η τρίτη περίπτωση είναι η πιο συχνή παγίδα σε εξετάσεις: μια εξίσωση σαν την ∣2x−1∣=−3|2x - 1| = -3 δεν λύνεται με πράξεις, απορρίπτεται με ένα σχόλιο.

Ανισώσεις: μέσα ή έξω

Η ανίσωση |x − κ| < ρ

Διάβασέ την ως «η απόσταση του x από το κ είναι μικρότερη από ρ». Σύρε το κέντρο κ και την ακτίνα ρ.

Ζωντανή ενημέρωση
Σύνολο λύσεων
−1 … 5

Η εικόνα δίνει και τους δύο κανόνες ταυτόχρονα. Για α>0\alpha > 0:

∣x∣<α  ⟺  −α<x<α|x| < \alpha \iff -\alpha < x < \alpha ∣x∣>α  ⟺  x<−α∨x>α|x| > \alpha \iff x < -\alpha \quad \lor \quad x > \alpha

Το πρώτο είναι ένα διάστημα γύρω από το μηδέν — «μέσα». Το δεύτερο είναι δύο κομμάτια, δεξιά και αριστερά — «έξω». Και το «ή» δεν γράφεται ποτέ ως διπλή ανισότητα: το α<x<−α\alpha < x < -\alpha δεν ισχύει για κανένα xx.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

∣2x−6∣=4|2x - 6| = 4

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

∣3x+1∣=−2|3x + 1| = -2

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

∣x−3∣<5|x - 3| < 5

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

∣2x+1∣≥3|2x + 1| \geq 3

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Λύσε: ∣x−2∣=7|x - 2| = 7

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Αν x<0x < 0, σε τι ισούται το ∣x∣|x|;

Τα κατάφερες;

  • Να εξηγείς την απόλυτη τιμή ως απόσταση και όχι ως «βγάζω το μείον».
  • Να λύνεις εξισώσεις της μορφής |παράσταση| = α με διερεύνηση στο α.
  • Να λύνεις τις ανισώσεις |x| < α και |x| > α και να γράφεις τη λύση ως διάστημα.
  • Να διαβάζεις το |x − α| ως απόσταση του x από το α.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.