Εξισώσεις 1ου βαθμού

Τι σημαίνει «λύνω μια εξίσωση»

Μια εξίσωση είναι μια ερώτηση: για ποια τιμή του $x$ τα δύο μέλη γίνονται ίσα;

Σκέψου μια ζυγαριά που ισορροπεί. Το αριστερό μέλος ζυγίζει όσο και το δεξί. Όσο κάνεις την ίδια πράξη και στις δύο πλευρές, η ζυγαριά συνεχίζει να ισορροπεί — αλλάζει η μορφή της εξίσωσης, όχι η λύση της.

Αυτό είναι όλο το κόλπο: αλλάζεις τη μορφή, κρατάς τη λύση, μέχρι να μείνει το $x$ μόνο του.

Η τυπική μορφή: αx + β = 0

Όποια εξίσωση πρώτου βαθμού και να σου δώσουν — με παρενθέσεις, με κλάσματα, με $x$ και στα δύο μέλη — μπορείς πάντα να τη φέρεις στη μορφή

$$\alpha x + \beta = 0$$

όπου $\alpha$ και $\beta$ είναι αριθμοί. Το $\alpha$ λέγεται συντελεστής του $x$ και το $\beta$ σταθερός όρος.

Γιατί μας νοιάζει αυτή η μορφή; Επειδή μόλις φτάσεις εκεί, όλα εξαρτώνται από ένα πράγμα: αν το $\alpha$ είναι μηδέν ή όχι.

Αν $\alpha \neq 0$, διαιρώ και τα δύο μέλη με το $\alpha$:

$$\alpha x = -\beta \Rightarrow x = -\frac{\beta}{\alpha}$$

Μία λύση, τελείωσε. Αν όμως $\alpha = 0$, η διαίρεση απαγορεύεται — και τότε συμβαίνει κάτι διαφορετικό.

Πειραματίσου με τις τρεις περιπτώσεις

Πριν διαβάσεις τη θεωρία, παίξε με το διάγραμμα. Σύρε το $\alpha$ αργά προς το μηδέν και πρόσεξε δύο πράγματα ταυτόχρονα: πώς η ευθεία «ισοπεδώνεται» και πώς αλλάζει η λύση.

Η εξίσωση αx + β = 0

Σύρε τα α και β και δες τι γίνεται με τη λύση.

Μία λύση

Εξίσωση

2x−3=0

Λύση

x=32= 1,5

Όσο το α δεν είναι μηδέν, η ευθεία είναι λοξή και κόβει τον άξονα x σε ένα ακριβώς σημείο.

α2

β−3

Δες τις τρεις περιπτώσεις

α ≠ 0α = 0, β ≠ 0α = 0, β = 0

Μία λύση. x = 1,5. Όσο το α δεν είναι μηδέν, η ευθεία είναι λοξή και κόβει τον άξονα x σε ένα ακριβώς σημείο.

Η ευθεία που βλέπεις είναι η $y = \alpha x + \beta$. Η λύση της εξίσωσης $\alpha x + \beta = 0$ είναι το σημείο όπου αυτή η ευθεία κόβει τον άξονα $x$ — γιατί εκεί ακριβώς το $y$ γίνεται μηδέν.

Αυτή η εικόνα εξηγεί και τις τρεις περιπτώσεις:

• $\alpha \neq 0$ — η ευθεία είναι λοξή. Κάθε λοξή ευθεία κόβει τον άξονα $x$ σε ένα ακριβώς σημείο, άρα μία λύση: $x = -\frac{\beta}{\alpha}$.
• $\alpha = 0$ και $\beta \neq 0$ — η ευθεία είναι οριζόντια, στο ύψος $\beta$. Δεν αγγίζει ποτέ τον άξονα $x$, άρα καμία λύση. Η εξίσωση λέγεται αδύνατη, γιατί γίνεται $\beta = 0$ με το $\beta$ να μην είναι μηδέν: ψέμα.
• $\alpha = 0$ και $\beta = 0$ — η ευθεία είναι ο άξονας $x$. Τον «αγγίζει» παντού, άρα κάθε $x$ είναι λύση. Η εξίσωση γίνεται $0 = 0$: αληθές, αλλά δεν σου λέει ποιο είναι το $x$. Λέγεται αόριστη ή ταυτότητα.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση