Δυνάμεις και ρίζες

Οι ιδιότητες που σου γλιτώνουν μισή σελίδα πράξεων.

24 λεπτά

Θα μάθεις να

Να χρησιμοποιείς τις ιδιότητες των δυνάμεων χωρίς να τις μπερδεύεις μεταξύ τους.
Να εξηγείς γιατί α⁰ = 1 και τι σημαίνει αρνητικός εκθέτης.
Να απλοποιείς ρίζες και να ρητοποιείς παρονομαστές.
Να ξέρεις γιατί √(x²) = |x| και όχι x.

Μία ιδέα, πέντε ιδιότητες

Η δύναμη $\alpha^\nu$ με φυσικό εκθέτη σημαίνει «πολλαπλασιάζω το $\alpha$ με τον εαυτό του $\nu$ φορές». Από αυτό και μόνο βγαίνουν όλες οι ιδιότητες — δεν χρειάζεται να τις αποστηθίσεις αν καταλάβεις από πού έρχονται.

\alpha^\mu \cdot \alpha^\nu = \alpha^{\mu + \nu}

Γιατί; Γιατί βάζεις $\mu$ αντίγραφα δίπλα σε $\nu$ αντίγραφα και μετράς. $2^3 \cdot 2^4$ είναι τρία δυάρια επί τέσσερα δυάρια, δηλαδή εφτά δυάρια.

Ιδιότητα	Γραφή	Γιατί ισχύει
Γινόμενο ίδιας βάσης	$\alpha^\mu \alpha^\nu = \alpha^{\mu+\nu}$	μετράς αντίγραφα
Πηλίκο ίδιας βάσης	$\frac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu-\nu}$	απλοποιείς αντίγραφα
Δύναμη δύναμης	$(\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu\nu}$	$\nu$ ομάδες των $\mu$
Γινόμενο βάσεων	$(\alpha\beta)^\nu = \alpha^\nu \beta^\nu$	αναδιάταξη παραγόντων
Πηλίκο βάσεων	$\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^\nu = \frac{\alpha^\nu}{\beta^\nu}$	το ίδιο, με κλάσμα

Γιατί α⁰ = 1 και τι κάνει ο αρνητικός εκθέτης

Το $\alpha^0$ δεν ορίστηκε αυθαίρετα ίσο με $1$ . Είναι η μόνη τιμή που κρατάει την ιδιότητα του πηλίκου αληθινή:

\frac{\alpha^3}{\alpha^3} = \alpha^{3-3} = \alpha^0

Αλλά το αριστερό μέλος είναι προφανώς $1$ . Άρα $\alpha^0 = 1$ για κάθε $\alpha \neq 0$ .

Με την ίδια λογική:

\frac{\alpha^2}{\alpha^5} = \alpha^{2-5} = \alpha^{-3}

και το αριστερό μέλος είναι $\frac{1}{\alpha^3}$ . Άρα $\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}$ .

Δες πώς αλλάζει η γραφική παράσταση καθώς ο εκθέτης περνάει από θετικός σε αρνητικός:

Ρίζες

Η $\nu$ -οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού $\alpha$ , γραμμένη $\sqrt[\nu]{\alpha}$ , είναι ο μη αρνητικός αριθμός που υψωμένος στη $\nu$ δίνει $\alpha$ .

Η λέξη «μη αρνητικός» στον ορισμό είναι που κάνει τη ρίζα συνάρτηση: το $\sqrt{9}$ είναι $3$ , όχι « $\pm 3$ ». Το $\pm$ εμφανίζεται όταν λύνεις την εξίσωση $x^2 = 9$ , γιατί εκεί ρωτάς κάτι διαφορετικό.

Οι ιδιότητες μοιάζουν με τις δυνάμεις, γιατί ρίζα και δύναμη είναι η ίδια πράξη:

\sqrt[\nu]{\alpha} = \alpha^{1/\nu}, \qquad \sqrt{\alpha}\sqrt{\beta} = \sqrt{\alpha\beta}, \qquad \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}

Ρητοποίηση παρονομαστή

Ένα κλάσμα με ρίζα στον παρονομαστή δεν είναι λάθος — είναι απλώς δύσχρηστο. Το καθαρίζεις πολλαπλασιάζοντας πάνω και κάτω με κατάλληλη παράσταση:

Παρονομαστής $\sqrt{\alpha}$ → πολλαπλασιάζω με $\sqrt{\alpha}$ .
Παρονομαστής $\sqrt{\alpha} + \beta$ → πολλαπλασιάζω με τη συζυγή $\sqrt{\alpha} - \beta$ , ώστε να προκύψει διαφορά τετραγώνων και να φύγει η ρίζα.