Πολυώνυμα — βασικές πράξεις

Τι είναι πολυώνυμο

Πολυώνυμο του $x$ είναι μια παράσταση της μορφής

$$\alpha_\nu x^\nu + \alpha_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0$$

με σταθερούς συντελεστές και φυσικούς εκθέτες. Ο μεγαλύτερος εκθέτης με μη μηδενικό συντελεστή είναι ο βαθμός.

Αυτό που δεν είναι πολυώνυμο: $\frac{1}{x}$ (εκθέτης $-1$), $\sqrt{x}$ (εκθέτης $\frac{1}{2}$), $2^x$ (το $x$ στον εκθέτη). Η διάκριση δεν είναι σχολαστικότητα — τα πολυώνυμα συμπεριφέρονται προβλέψιμα ακριβώς επειδή περιορίζονται έτσι.

Πώς αλλάζει το σχήμα με τον βαθμό

Σύρε τους συντελεστές. Πρόσεξε πόσες φορές κόβει η καμπύλη τον άξονα x — ποτέ περισσότερες από τον βαθμό.

α0,5

β0

γ−2

Ζωντανή ενημέρωση

Ρίζες

−2, −0, 2

• y = αx³ + βx² + γx

Δοκίμασε

Μία ρίζαΤρεις ρίζεςΒαθμός 2

Πράξεις

Πρόσθεση και αφαίρεση: μαζεύεις τους όμοιους όρους — αυτούς με τον ίδιο εκθέτη. Το $3x^2$ και το $5x^2$ μαζεύονται· το $3x^2$ και το $5x$ δεν μαζεύονται ποτέ.

Πολλαπλασιασμός: κάθε όρος του πρώτου επί κάθε όρο του δεύτερου. Ο βαθμός του γινομένου είναι το άθροισμα των βαθμών.

Παραγοντοποίηση: τέσσερις τρόποι, με σειρά

Η παραγοντοποίηση δεν είναι έμπνευση. Είναι λίστα ελέγχου, και την εφαρμόζεις πάντα με την ίδια σειρά.

1. Κοινός παράγοντας — πάντα πρώτα.

$6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$

2. Ταυτότητες. Ψάχνεις διαφορά τετραγώνων ή τέλειο τετράγωνο:

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$, $\quad x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

3. Ομαδοποίηση — όταν έχεις τέσσερις όρους:

$x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = x^2(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x^2+3)$

4. Τριώνυμο $x^2 + \beta x + \gamma$: ψάχνεις δύο αριθμούς με άθροισμα $\beta$ και γινόμενο $\gamma$.

$x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$, γιατί $-3 - 4 = -7$ και $(-3)(-4) = 12$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση