Οι συναρτήσεις y = αx² και y = α/x

Δύο σχήματα που θα ξαναδείς παντού

Μέχρι τώρα κάθε συνάρτηση που συνάντησες έδινε ευθεία. Δύο πολύ συνηθισμένες σχέσεις όμως δεν δίνουν:

$$y = \alpha x^2 \qquad y = \frac{\alpha}{x}$$

Η πρώτη είναι παραβολή, η δεύτερη υπερβολή. Και οι δύο περιγράφουν πράγματα που συμβαίνουν συνέχεια: το εμβαδόν ενός τετραγώνου καθώς μεγαλώνει η πλευρά, ο χρόνος ενός ταξιδιού καθώς ανεβαίνει η ταχύτητα.

Παραβολή και υπερβολή

Κούνησε το α. Πρόσεξε πότε η καμπύλη αναποδογυρίζει και πότε απλώς στενεύει. Η υπερβολή δεν αγγίζει ποτέ τους άξονες.

α1

Ζωντανή ενημέρωση

Τιμή της παραβολής στο x = 2

4

Τιμή της υπερβολής στο x = 2

3

• y = αx²
• y = α·6/x

Η παραβολή y = αx²

Χαρακτηριστικά που αξίζει να ξέρεις απ' έξω:

• Περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων.
• Είναι συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα: το $x$ και το $-x$ δίνουν την ίδια τιμή.
• $\alpha > 0$: ανοίγει προς τα πάνω, με ελάχιστο το $0$.
• $\alpha < 0$: ανοίγει προς τα κάτω, με μέγιστο το $0$.
• Όσο μεγαλώνει το $|\alpha|$, τόσο στενεύει.

Η συμμετρία φαίνεται στον πίνακα πριν καν σχεδιάσεις.

Η υπερβολή y = α/x

Εδώ το $x = 0$ απαγορεύεται — δεν διαιρείς με το μηδέν. Η καμπύλη έχει δύο χωριστά κομμάτια και δεν αγγίζει ποτέ τους άξονες, όσο μακριά κι αν πας.

Η σχέση αυτή περιγράφει αντιστρόφως ανάλογα ποσά: όταν το ένα διπλασιάζεται, το άλλο υποδιπλασιάζεται, και το γινόμενό τους μένει σταθερό.

$$x \cdot y = \alpha$$

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση