Κλασματικές εξισώσεις και προβλήματα

Διώξε τους παρονομαστές — αλλά κράτα σημειώσεις

Η εξίσωση

$$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$$

λύνεται εύκολα: πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με το ΕΚΠ των παρονομαστών, δηλαδή με $6$, και γλιτώνεις από τα κλάσματα.

$$3x + 2x = 30 \Rightarrow x = 6$$

Όταν όμως ο άγνωστος βρίσκεται στον παρονομαστή, η ίδια κίνηση κρύβει παγίδα.

Όταν ο x είναι στον παρονομαστή

$$\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 3$$

Πριν κάνεις οτιδήποτε: ο παρονομαστής $x - 2$ δεν επιτρέπεται να μηδενιστεί, άρα $x \neq 2$.

Γράψ' το τώρα, στην αρχή. Μετά τον πολλαπλασιασμό δεν θα φαίνεται πουθενά.

Πολλαπλασιάζω με $(x-2)$:

$$x = 2 + 3(x - 2) \Rightarrow x = 3x - 4 \Rightarrow x = 2$$

Η λύση που βρήκα είναι ακριβώς η απαγορευμένη τιμή. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη: δεν έχει λύση.

Η μέθοδος

1. Παραγοντοποίησε τους παρονομαστές, για να βρεις τους πραγματικούς περιορισμούς.
2. Γράψε τους περιορισμούς.
3. Πολλαπλασίασε με το ΕΚΠ των παρονομαστών.
4. Λύσε τη νέα εξίσωση, που πλέον δεν έχει κλάσματα.
5. Έλεγξε κάθε λύση απέναντι στους περιορισμούς.

Το βήμα 5 δεν είναι διακόσμηση. Είναι μέρος της λύσης.

Προβλήματα που καταλήγουν σε κλάσματα

Ποια εξίσωση λέει την ιστορία;

Διάλεξε πρόβλημα και μετά εξίσωση. Και τα τρία καταλήγουν σε κλάσματα — το ζητούμενο είναι ποιο κλάσμα.

Διάλεξε πρόβλημα

ΒαφήΤαχύτητα

Ένας βαφέας βάφει ένα δωμάτιο σε 6 ώρες και ένας δεύτερος σε 3 ώρες. Σε πόσες ώρες το βάφουν μαζί;

Ο άγνωστος x = οι ώρες που χρειάζονται δουλεύοντας μαζί

Ποια εξίσωση ταιριάζει;

x/6 + x/3 = 1x = 6 + 3x = (6 + 3) / 2

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση