Συστήματα εξισώσεων

Δύο πληροφορίες, δύο άγνωστοι

Στην καντίνα: τρεις καφέδες και δύο χυμοί κάνουν $11{,}50$ ευρώ. Ένας καφές και τέσσερις χυμοί κάνουν $13$.

Πόσο κοστίζει ο καφές;

Με έναν άγνωστο δεν βγαίνει — υπάρχουν δύο άγνωστες τιμές. Χρειάζονται δύο γράμματα:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 11{,}50 \\ x + 4y = 13 \end{cases}$$

Ένα ζευγάρι εξισώσεων που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα λέγεται σύστημα. Και η λύση του δεν είναι αριθμός: είναι ζευγάρι $(x, y)$.

Μέθοδος 1: αντικατάσταση

Λύνεις τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και τον βάζεις στην άλλη.

Από τη δεύτερη: $x = 13 - 4y$.

Στην πρώτη:

$$3(13 - 4y) + 2y = 11{,}50 \Rightarrow 39 - 12y + 2y = 11{,}50 \Rightarrow -10y = -27{,}50$$

Άρα $y = 2{,}75$ και $x = 13 - 11 = 2$.

Ο καφές $2$ ευρώ, ο χυμός $2{,}75$.

Η μέθοδος βολεύει όταν κάποιος άγνωστος έχει συντελεστή $1$ — απομονώνεται χωρίς κλάσματα.

Μέθοδος 2: αντίθετοι συντελεστές

Πολλαπλασιάζεις τις εξισώσεις ώστε ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές, και τις προσθέτεις: ο άγνωστος εξαφανίζεται.

Πολλαπλασιάζω τη δεύτερη εξίσωση με $-3$:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 11{,}50 \\ -3x - 12y = -39 \end{cases}$$

Πρόσθεση κατά μέλη: $-10y = -27{,}50$, δηλαδή $y = 2{,}75$. Το ίδιο αποτέλεσμα, από άλλο δρόμο.

Δύο ευθείες, τρεις δυνατότητες

Η μπλε ευθεία μένει σταθερή. Κούνησε την πορτοκαλί: άλλαξε πρώτα την κλίση της και μετά το σημείο που κόβει τον κατακόρυφο άξονα.

Πρώτη εξίσωσηy = x + 1

Δεύτερη εξίσωσηy = −x + 5

Μία λύση: (2, 3)Διαφορετικές κλίσεις: οι ευθείες τέμνονται σε ακριβώς ένα σημείο.

Κλίση της δεύτερης−1

Σταθερός όρος της δεύτερης5

Οι τρεις περιπτώσεις

Αλγεβρικά το καταλαβαίνεις χωρίς σχήμα. Αν στη διάρκεια της λύσης φτάσεις σε κάτι σαν $0 = 7$, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν φτάσεις σε $0 = 0$, είναι αόριστο.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση