Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Ένας αριθμός που δεν χωράει σε κλάσμα

Πάρε ένα τετράγωνο με πλευρά $1$. Πόσο είναι η διαγώνιός του;

Από το Πυθαγόρειο — που θα το δεις αναλυτικά σε λίγες ενότητες — βγαίνει ότι το τετράγωνό της είναι $1^2 + 1^2 = 2$. Άρα η διαγώνιος είναι ο αριθμός που, υψωμένος στο τετράγωνο, δίνει $2$. Τον γράφουμε $\sqrt{2}$.

Το ερώτημα είναι απλό: ποιο κλάσμα είναι αυτός ο αριθμός;

Η απάντηση είναι ότι δεν υπάρχει. Κανένα κλάσμα ακεραίων δεν δίνει $\sqrt{2}$. Και αυτό δεν είναι θέμα υπολογιστικής δύναμης — αποδεικνύεται.

Ρητοί: όσοι γράφονται ως κλάσμα

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που γράφεται ως $\dfrac{a}{b}$ με $a, b$ ακέραιους και $b \neq 0$.

Μέσα εκεί χωράνε πολύ περισσότερα από όσα φαίνονται:

Το κοινό τους: η δεκαδική γραφή είτε τελειώνει είτε επαναλαμβάνεται από κάποιο σημείο και μετά. Δεν γίνεται αλλιώς, γιατί στη διαίρεση $a : b$ τα δυνατά υπόλοιπα είναι πεπερασμένα — κάποιο θα ξαναβγεί, και από εκεί το μοτίβο επαναλαμβάνεται.

Άρρητοι: όσοι δεν γράφονται

Ο $\sqrt{2}$ έχει δεκαδική γραφή που ούτε τελειώνει ούτε επαναλαμβάνεται:

$$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$$

Τέτοιοι αριθμοί λέγονται άρρητοι. Δίπλα στον $\sqrt{2}$ στέκονται ο $\sqrt{3}$, ο $\sqrt{5}$, ο $\pi$ και άπειροι άλλοι.

Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Αυτοί γεμίζουν την αριθμογραμμή χωρίς να αφήνουν κενό.

Κυνήγι ρίζας

Διάλεξε αριθμό και στένεψε την παγίδα. Κάθε γύρος προσθέτει ένα δεκαδικό ψηφίο — το μόνο εργαλείο είναι ο πολλαπλασιασμός.

Ποια ρίζα κυνηγάμε

√2√3√5√10√49

1 < √2 < 2

Έλεγχος με τετράγωνα1 < 2 < 4

Η παγίδα στένεψε, αλλά δεν έκλεισε

Όσα ψηφία κι αν προσθέσεις, το επόμενο υπάρχει πάντα. Αυτό ακριβώς σημαίνει «άρρητος».

Στένεψε την παγίδαΑπό την αρχή

Οι ιδιότητες πίσω από κάθε βήμα

Όταν υπολογίζεις, δεν κάνεις ό,τι σου έρθει. Κάθε νόμιμο βήμα στηρίζεται σε μια ιδιότητα:

Και μία που συνδέει τις δύο πράξεις, η επιμεριστική:

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Διαβάζεται και ανάποδα. Από αριστερά προς τα δεξιά κάνεις πράξεις· από δεξιά προς τα αριστερά βγάζεις κοινό παράγοντα.

Ιδιότητες των ριζών

Για $a, b \geq 0$:

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \; b > 0$$

Αυτές επιτρέπουν την απλοποίηση: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση