Τρίγωνα και παραλληλόγραμμα

Γιατί πάντα 180°

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι $180°$ — οποιουδήποτε τριγώνου, μικρού, μεγάλου, στραβού.

Δεν είναι παρατήρηση από μετρήσεις. Αποδεικνύεται, και η απόδειξη είναι το προηγούμενο μάθημα:

Φέρε από την κορυφή $A$ ευθεία παράλληλη στη βάση $B\Gamma$. Τότε η γωνία $B$ μεταφέρεται δίπλα στην $A$ ως εντός εναλλάξ, και το ίδιο η γωνία $\Gamma$ από την άλλη μεριά.

Οι τρεις γωνίες βρίσκονται τώρα στη σειρά πάνω σε μία ευθεία. Άρα αθροίζουν σε $180°$.

Σύρε τις κορυφές

Άλλαξε το σχήμα του τριγώνου όπως θέλεις. Το άθροισμα δεν κουνιέται.

Ζωντανή ενημέρωση

A

63°

B

47°

Γ

70°

Άθροισμα γωνιών

180°

Μήκη πλευρών

BΓ22

ΓA18

AB23

Aₓ60

Aᵧ210

Bₓ290

Bᵧ210

Γₓ140

Γᵧ50

Κατάταξη τριγώνων

Ένα τρίγωνο κατατάσσεται με δύο ανεξάρτητους τρόπους.

Ως προς τις πλευρές:

• σκαληνό — τρεις άνισες πλευρές
• ισοσκελές — δύο ίσες
• ισόπλευρο — τρεις ίσες

Ως προς τις γωνίες:

• οξυγώνιο — και οι τρεις οξείες
• ορθογώνιο — μία ορθή
• αμβλυγώνιο — μία αμβλεία

Τριγωνική ανισότητα

Δεν φτιάχνεις τρίγωνο με οποιαδήποτε τρία μήκη. Κάθε πλευρά πρέπει να είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο:

$$a < b + c$$

Αλλιώς οι δύο κοντές πλευρές δεν φτάνουν να συναντηθούν. Με $3$, $4$ και $9$ δεν γίνεται τρίγωνο: $3 + 4 = 7 < 9$.

Τετράπλευρα

Κάθε τετράπλευρο χωρίζεται με μία διαγώνιο σε δύο τρίγωνα. Άρα:

$$180° \times 2 = 360°$$

Το παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Από αυτό και μόνο προκύπτουν όλα τα υπόλοιπα:

• οι απέναντι πλευρές είναι ίσες
• οι απέναντι γωνίες είναι ίσες
• οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές
• οι διαγώνιοι διχοτομούνται

Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο με ορθές γωνίες, ο ρόμβος με ίσες πλευρές, το τετράγωνο και τα δύο.

Εμβαδά

Διάλεξε σχήμα και άλλαξε τις διαστάσεις. Πρόσεξε πώς κάθε τύπος βγαίνει από το ορθογώνιο.

ΟρθογώνιοΠαραλληλόγραμμοΤρίγωνοΤραπέζιο

β × υΕμβαδόν24 cm

Βάση

−6+

Ύψος

−4+

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση