Παράλληλες και κάθετες ευθείες

Ένα αίτημα, και όλα όσα ακολουθούν

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν. Γράφουμε $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$.

Κάθετες είναι όταν τέμνονται σχηματίζοντας ορθή γωνία. Γράφουμε $\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2$.

Το αίτημα της παραλληλίας λέει: από σημείο εκτός ευθείας περνάει μία μόνο παράλληλη προς αυτήν.

Δεν αποδεικνύεται. Το δεχόμαστε — και από αυτό κρέμεται όλη η γεωμετρία που ακολουθεί.

Η τέμνουσα και οι οκτώ γωνίες

Μια τρίτη ευθεία που κόβει δύο άλλες λέγεται τέμνουσα. Σχηματίζονται οκτώ γωνίες, τέσσερις σε κάθε τομή.

Πότε χρειάζεται η παραλληλία

Ο δεύτερος ολισθητής γέρνει τη δεύτερη ευθεία. Πρόσεξε ποιες σχέσεις σπάνε μόλις πάψουν να είναι παράλληλες — και ποιες όχι.

ΠαράλληλεςΚατακορυφήν: 1 = 4 = 55°, 2 = 3 = 125°Παραπληρωματικές: 1 + 2 = 180°Εντός εκτός και επί τα αυτά: 1 = 55°, 5 = 55°Εντός εναλλάξ: 3 = 125°, 6 = 125°

Γωνία55°

Κλίση δεύτερης ευθείαςΠαράλληλες

Τα ονόματα

Με τέμνουσα που κόβει δύο παράλληλες:

• εντός εναλλάξ — εκατέρωθεν της τέμνουσας, ανάμεσα στις παράλληλες: ίσες
• εντός εκτός και επί τα αυτά — ίδια πλευρά της τέμνουσας, μία μέσα μία έξω: ίσες
• εντός και επί τα αυτά — ίδια πλευρά, και οι δύο ανάμεσα: παραπληρωματικές ($180°$)

Το αντίστροφο: πώς αποδεικνύεις παραλληλία

Ως τώρα: αν είναι παράλληλες, τότε οι γωνίες είναι ίσες.

Ισχύει και ανάποδα — και αυτό είναι που το κάνει εργαλείο:

Αν μια τέμνουσα σχηματίζει ίσες εντός εναλλάξ γωνίες, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Έτσι η παραλληλία παύει να είναι κάτι που «φαίνεται» στο σχήμα και γίνεται κάτι που αποδεικνύεται με μέτρηση γωνιών.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση