Κλάσματα

Ένα κλάσμα είναι μια διαίρεση που δεν βιάστηκες να κάνεις

Το $\frac{3}{4}$ λέει δύο πράγματα ταυτόχρονα, και είναι το ίδιο πράγμα:

• τρία τέταρτα μιας ολόκληρης πίτας,
• το αποτέλεσμα του $3 : 4$.

Ο παρονομαστής λέει σε πόσα ίσα κομμάτια κόπηκε το ακέραιο. Ο αριθμητής λέει πόσα κρατάς.

Από αυτό βγαίνει κάτι που μπερδεύει: όσο μεγαλώνει ο παρονομαστής, τόσο μικραίνει το κομμάτι. Το $\frac{1}{8}$ είναι λιγότερο από το $\frac{1}{4}$, γιατί η ίδια πίτα κόπηκε σε περισσότερα μέρη.

Ισοδύναμα κλάσματα και απλοποίηση

Πότε δύο κλάσματα είναι το ίδιο πράγμα

Άλλαξε αριθμητές και παρονομαστές. Πρόσεξε πότε οι δύο μπάρες σκιάζονται το ίδιο, παρόλο που οι αριθμοί διαφέρουν.

Πρώτο κλάσμα12

Σκιασμένα

−1+

Κομμάτια

−2+

Δεύτερο κλάσμα24

Σκιασμένα

−2+

Κομμάτια

−4+

Ίσα — το ίδιο κομμάτι, γραμμένο αλλιώς

Αν πολλαπλασιάσεις και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, κόβεις κάθε κομμάτι στα ίδια μέρη. Έχεις περισσότερα κομμάτια, αλλά μικρότερα — η ποσότητα δεν κουνήθηκε:

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100}$$

Απλοποίηση είναι το ίδιο ανάποδα: διαιρείς και τους δύο όρους με κοινό διαιρέτη. Αν διαιρέσεις με τον ΜΚΔ τους, φτάνεις σε μία κίνηση στο ανάγωγο κλάσμα, αυτό που δεν απλοποιείται άλλο.

$$\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$$

Πρόσθεση: γιατί χρειάζεται κοινός παρονομαστής

Πρόσθεση κλασμάτων

Δοκίμασε να προσθέσεις δύο κλάσματα με διαφορετικά κομμάτια. Δες τι εμποδίζει, και τι αλλάζει όταν τα κομμάτια γίνουν ίδια.

Πρώτο κλάσμα12

Σκιασμένα

−1+

Κομμάτια

−2+

Δεύτερο κλάσμα13

Σκιασμένα

−1+

Κομμάτια

−3+

Διαφορετικά κομμάτια — δεν προστίθενται όπως είναι

Δεν μπορείς να προσθέσεις τρίτα με τέταρτα, όπως δεν προσθέτεις μήλα με πορτοκάλια. Πρέπει πρώτα να γίνουν το ίδιο είδος κομματιού.

Ο κοινός παρονομαστής που δουλεύει πάντα είναι το ΕΚΠ των παρονομαστών:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Πολλαπλασιασμός: «τόσο, από τόσο»

Γιατί το γινόμενο βγαίνει μικρότερο

Σκιάζεις στήλες για το πρώτο κλάσμα και γραμμές για το δεύτερο. Το γινόμενο είναι η επικάλυψη.

12×23=26Αριθμητής 1 × 2 = 2Παρονομαστής 2 × 3 = 6Μικρότερο και από τα δύο — πήρες μέρος ενός μέρους

Πρώτο κλάσμα

Πάνω

−1+

Κάτω

−2+

Δεύτερο κλάσμα

Πάνω

−2+

Κάτω

−3+

Το «$\times$» ανάμεσα σε κλάσματα διαβάζεται «του»: το $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$ είναι «το μισό των δύο τρίτων».

Ο κανόνας είναι ο πιο εύκολος από όλους — αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές:

$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$$

Διαίρεση: αντιστρέφεις και πολλαπλασιάζεις

Γιατί; Γιατί «διά $\frac{2}{3}$» ρωτάει: πόσες φορές χωράει το $\frac{2}{3}$ μέσα;

Σε ένα ολόκληρο, τα δύο τρίτα χωράνε μιάμιση φορά. Δηλαδή $1 : \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$.

$$\frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$$

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση