Φυσικοί αριθμοί και διαιρετότητα

Μοιράζεται ή δεν μοιράζεται;

Έχεις $91$ καραμέλες και $7$ παιδιά. Βγαίνει ίσα;

Θα μπορούσες να κάνεις τη διαίρεση. Αλλά για κάποιους αριθμούς υπάρχει τρόπος να το δεις κοιτάζοντας, χωρίς πράξη.

Λέμε ότι ο $a$ διαιρείται με τον $b$ όταν η διαίρεση $a : b$ δίνει υπόλοιπο $0$. Το ίδιο πράγμα, από την άλλη μεριά: ο $b$ είναι διαιρέτης του $a$, και ο $a$ είναι πολλαπλάσιο του $b$.

Κριτήρια διαιρετότητας

Άλλαξε τον αριθμό και δες ποια κριτήρια περνάνε. Κοίτα τι διαβάζει το καθένα.

342Άθροισμα ψηφίων 3 + 4 + 2 = 9Τελευταίο ψηφίο 2

• 2ΝαιΤο τελευταίο ψηφίο είναι ζυγό
• 3ΝαιΤο άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με 3
• 4ΌχιΤα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με 4
• 5ΌχιΤο τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5
• 9ΝαιΤο άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με 9
• 10ΌχιΤο τελευταίο ψηφίο είναι 0

Αριθμός

−100−10−1+1+10+100

Γιατί δουλεύουν τα κριτήρια

Δεν είναι κόλπα. Καθένα διαβάζει κάτι συγκεκριμένο από τον αριθμό.

Για το 2, 5 και 10 φταίει το ότι το $10$ διαιρείται και με τα τρία. Κάθε αριθμός σπάει σε «δεκάδες συν μονάδες»:

$$342 = 340 + 2$$

Το $340$ είναι πολλαπλάσιο του $10$, άρα διαιρείται με $2$ και με $5$. Ό,τι αποφασίσει λοιπόν η διαιρετότητα εξαρτάται μόνο από το τελευταίο ψηφίο.

Για το 3 και το 9 η αιτία είναι ότι το $9$ διαιρεί το $99$, το $999$, κάθε τέτοιον αριθμό:

$$342 = 3 \times 100 + 4 \times 10 + 2 = 3 \times 99 + 4 \times 9 + (3 + 4 + 2)$$

Τα δύο πρώτα κομμάτια διαιρούνται σίγουρα με $9$. Μένει το $3 + 4 + 2 = 9$ — το άθροισμα των ψηφίων. Γι' αυτό αρκεί να το κοιτάξεις.

Πρώτοι: οι αριθμοί που δεν σπάνε

Κάθε αριθμός έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες: το $1$ και τον εαυτό του.

Αν δεν έχει κανέναν άλλο, λέγεται πρώτος.

$$2, \; 3, \; 5, \; 7, \; 11, \; 13, \; 17, \; 19, \; 23, \; 29, \ldots$$

Αν έχει κι άλλους, λέγεται σύνθετος. Το $91$ φαίνεται πρώτος, αλλά $91 = 7 \times 13$.

Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες

Κάθε σύνθετος αριθμός γράφεται σαν γινόμενο πρώτων — και με έναν μόνο τρόπο, αν αγνοήσεις τη σειρά.

$$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$$

Ο τρόπος: διαιρείς διαδοχικά με τον μικρότερο πρώτο που χωράει, μέχρι να φτάσεις στο $1$.

Αυτή η γραφή είναι το «DNA» του αριθμού. Από εκεί διαβάζεις τα πάντα — και τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ.

ΜΚΔ και ΕΚΠ

Κοινοί διαιρέτες, κοινά πολλαπλάσια

Άλλαξε τους δύο αριθμούς. Οι κοινοί διαιρέτες είναι σημειωμένοι — ο ΜΚΔ είναι ο μεγαλύτερος από αυτούς.

Πρώτος αριθμός 12 — Διαιρέτες

1234612

Δεύτερος αριθμός 18 — Διαιρέτες

1236918

ΜΚΔ6ΕΚΠ36

Πρώτος αριθμός

−12+

Δεύτερος αριθμός

−18+

Ο ΜΚΔ (μέγιστος κοινός διαιρέτης) είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί και τους δύο.

Το ΕΚΠ (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και από τους δύο.

Από την ανάλυση σε πρώτους:

Για $12 = 2^2 \times 3$ και $18 = 2 \times 3^2$:

$$\text{MKD} = 2^1 \times 3^1 = 6 \qquad \text{EKP} = 2^2 \times 3^2 = 36$$

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση