Ισοδύναμα κλάσματα και σύγκριση

Δύο ονόματα, μία ποσότητα

Κόψε ένα κέικ στη μέση και πάρε το ένα κομμάτι: $\frac{1}{2}$.

Τώρα κόψε το ίδιο κέικ στα τέσσερα και πάρε δύο κομμάτια: $\frac{2}{4}$.

Έφαγες ακριβώς το ίδιο. Απλώς το έκοψες διαφορετικά.

Ίδια μπάρα, άλλο κόψιμο

Φέρε τις δύο μπάρες στο ίδιο βαμμένο μήκος με διαφορετικά κομμάτια. Δοκίμασε 1/2 και 2/4, μετά 1/3 και 2/6.

Πρώτο12

Βαμμένα

−1+

Κομμάτια

−2+

Δεύτερο24

Βαμμένα

−2+

Κομμάτια

−4+

Ίσα — ισοδύναμα κλάσματα

Ο κανόνας: ό,τι κάνεις πάνω, κάνε και κάτω

Για να φτιάξεις ισοδύναμο κλάσμα, πολλαπλασίασε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό:

$$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$

Γιατί δουλεύει; Γιατί έκοψες κάθε κομμάτι σε $4$ μικρότερα. Έχεις τετραπλάσια κομμάτια, αλλά και το καθένα είναι τέσσερις φορές μικρότερο. Ισοφαρίζονται.

Απλοποίηση: ο ίδιος κανόνας ανάποδα

Διαίρεσε πάνω και κάτω με τον ίδιο αριθμό:

$$\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3}$$

Ένα κλάσμα είναι σε απλούστερη μορφή όταν δεν υπάρχει άλλος αριθμός (πέρα από το $1$) που να διαιρεί και τους δύο όρους.

Σύγκριση με κοινό παρονομαστή

Ποιο είναι μεγαλύτερο, $\frac{2}{3}$ ή $\frac{3}{5}$;

Δεν έχουν ίδιο πάνω ούτε ίδιο κάτω, άρα τα κόλπα της Γ΄ δεν βοηθάνε. Φέρ' τα στα ίδια κομμάτια:

$$\frac{2}{3} = \frac{10}{15} \qquad \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$$

Τώρα τα κομμάτια είναι ίδια (δέκατα πέμπτα) και η σύγκριση είναι εύκολη: $10 > 9$.

$$\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$$

Πώς βρήκα το $15$; Είναι το γινόμενο $3 \times 5$. Δουλεύει πάντα, ακόμα κι αν δεν είναι ο μικρότερος δυνατός.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση