Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Εφαρμογές της τριγωνομετρίας

Υπολογίζεις ύψη και αποστάσεις που δεν μπορείς να μετρήσεις.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να λύνεις ορθογώνιο τρίγωνο όταν ξέρεις μία πλευρά και μία οξεία γωνία.
  2. Να χρησιμοποιείς γωνία ανύψωσης ή κατάκλισης σε πρόβλημα.
  3. Να διαλέγεις τον σωστό τριγωνομετρικό αριθμό με βάση τα δεδομένα.

Μετρώντας ό,τι δεν φτάνεις

Πόσο ψηλό είναι ένα βουνό; Πόσο μακριά είναι ένα πλοίο; Πόσο απέχει το φεγγάρι;

Καμία από αυτές τις αποστάσεις δεν μετριέται με μεζούρα. Και οι τρεις υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο: μετράς μια γωνία και μια απόσταση που φτάνεις, και η τριγωνομετρία δίνει την υπόλοιπη.

Γωνία ανύψωσης και κατάκλισης

Γωνία ανύψωσης είναι η γωνία ανάμεσα στην οριζόντια γραμμή και στη γραμμή προς κάτι ψηλότερα. Κοιτάς μια κορυφή: πόσο ανασηκώνεις το βλέμμα.

Γωνία κατάκλισης είναι η αντίστοιχη όταν κοιτάς προς κάτι χαμηλότερα, π.χ. από ταράτσα προς ένα αυτοκίνητο.

Οι δύο γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους όταν αφορούν το ίδιο ζευγάρι σημείων, γιατί σχηματίζονται από παράλληλες οριζόντιες γραμμές.

Μία γωνία, μία πλευρά, όλα τα υπόλοιπα

Βάλε τη γωνία που μετράς και το μήκος που ξέρεις. Οι τρεις λόγοι δίνουν τις πλευρές που δεν μπορείς να φτάσεις.

Ύψος3,44

Οριζόντια απόσταση4,91

Απόσταση σε ευθεία6

ημωΎψοςΑπόσταση σε ευθεία0,574

συνωΟριζόντια απόστασηΑπόσταση σε ευθεία0,819

εφωΎψοςΟριζόντια απόσταση0,7

Το μέγεθος του τριγώνου αλλάζει τις πλευρές, αλλά ποτέ τους λόγους.

Πώς διαλέγεις λόγο

Σημείωσε τι ξέρεις και τι ζητάς, και διάλεξε τον λόγο που συνδέει ακριβώς αυτά τα δύο.

ΞέρωΖητάωΧρησιμοποιώ
οριζόντια απόστασηύψοςεφαπτομένη
υποτείνουσαύψοςημίτονο
υποτείνουσαοριζόντια απόστασησυνημίτονο
δύο πλευρέςτη γωνίατον αντίστοιχο λόγο, ανάποδα

Στα περισσότερα προβλήματα ύψους, η εφαπτομένη είναι η απάντηση — γιατί η υποτείνουσα είναι ακριβώς αυτή που δεν μπορείς να μετρήσεις.

Ας το κάνουμε μαζί

Παράδειγμα 1

Στέκεσαι 50 m από ένα κτίριο και βλέπεις την κορυφή του με γωνία ανύψωσης 32°. Πόσο ψηλό είναι; (εφ32° ≈ 0,62)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Σκάλα 8 m ακουμπά σε τοίχο σχηματίζοντας γωνία 60° με το έδαφος. Σε τι ύψος φτάνει; (ημ60° ≈ 0,87)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Από φάρο ύψους 40 m, ένα πλοίο φαίνεται με γωνία κατάκλισης 25°. Πόσο απέχει; (εφ25° ≈ 0,47)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Από απόσταση 4040 m η κορυφή δέντρου φαίνεται με γωνία 30∘30^\circ, με εφ30∘≈0,58\varepsilon\varphi 30^\circ \approx 0{,}58. Πόσο ψηλό είναι;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Ξέρεις την οριζόντια απόσταση από ένα κτίριο και τη γωνία ανύψωσης της κορυφής του. Ποιον λόγο χρησιμοποιείς για το ύψος;

Τα κατάφερες;

  • Να λύνεις ορθογώνιο τρίγωνο όταν ξέρεις μία πλευρά και μία οξεία γωνία.
  • Να χρησιμοποιείς γωνία ανύψωσης ή κατάκλισης σε πρόβλημα.
  • Να διαλέγεις τον σωστό τριγωνομετρικό αριθμό με βάση τα δεδομένα.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.